Wymagania na Egzamin Licencjacki 2016/2017

11/06/17

WYMAGANIA NA EGZAMIN LICENCJACKI Z MATEMATYKI DLA MATEMATYKI, MATEMATYKI NAUCZYCIELSKIEJ I MATEMATYKI EKONOMICZNEJ

Analiza matematyczna

  • Granica ciągu liczbowego. Ciągi zbieżne. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.
  • Definicja zbieżności szeregu liczbowego. (Suma szeregu, n-ta suma częściowa, n-ta reszta.)
  • Kryteria zbieżności szeregów.
  • Szeregi potęgowe. Promień zbieżności, przedział zbieżności.
  • Definicje Heinego i Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie i ich równoważność (w różnych przypadkach – skończonych i nieskończonych).
  • Definicje Heinego i Cauchy’ego ciągłości funkcji w punkcie i ich równoważność.
  • Własności funkcji ciągłych określonych na przedziale.
  • Zbieżność punktowa a zbieżność jednostajna ciągów funkcyjnych.
  • Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych.
  • Szeregi funkcyjne. Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego.
  • Pochodna funkcji w punkcie. Różniczkowalność a ciągłość.
  • Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji różniczkowalnych. Pochodna złożenia, pochodna funkcji odwrotnej.
  • Twierdzenia Rolle’a, Lagrange’a i Cauchy’ego.
  • Reguła de l’Hospitala.
  • Twierdzenie Taylora.
  • Szereg Taylora, szereg Maclaurina. Funkcje rozwijalne w szereg potęgowy.
  • Konstrukcja całki Riemanna.
  • Całkowalność funkcji ciągłych. Twierdzenie Riemanna.
  • Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.
  • Zwartość. Zbiory zwarte w przestrzeniach euklidesowych.
  • Własności funkcji ciągłych określonych na zbiorach zwartych.
  • Pochodna funkcji wielu zmiennych w punkcie. Pochodna a ciągłość funkcji.
  • Pochodne cząstkowe. Związek między pochodną a pochodnymi cząstkowymi.
  • Odwzorowania klasy C1. Dyfeomorfizmy.
  • Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań.
  • Twierdzenie o funkcji uwikłanej.
  • Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Twierdzenie Schwarza o symetrii różniczki drugiego rzędu.
  • Warunki konieczne i dostateczne na istnienie ekstremum lokalnego w punkcie.
  • Twierdzenie Fubiniego.
  • Twierdzenie o zamianie zmiennych dla funkcji wielu zmiennych.

Wstęp do matematyki

  • Prawa de Morgana dla rachunku zdań i kwantyfikatorów.
  • Relacje, dziedzina, przeciwdziedzina, funkcja jako relacja, funkcja odwrotna.
  • Funkcja f:X?Y, injekcje, surjekcje, bijekcje, funkcja odwrotna, składanie funkcji.
  • Obrazy i przeciwobrazy zbioru przez funkcje. Własności.
  • Relacja równoważności. Zasada abstrakcji.
  • Zbiory częściowo, liniowo i dobrze uporządkowane. Elementy wyróżnione.
  • Twierdzenie Cantora-Bernsteina i jego zastosowania.
  • Twierdzenie Cantora o mocy rodziny wszystkich podzbiorów danego zbioru.
  • Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne. Dowód nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych.

Algebra liniowa z geometrią

  • Ciało liczb zespolonych.
  • Baza przestrzeni liniowej.
  • Wymiar przestrzeni liniowej.
  • Związek między wymiarami jądra i obrazu homomorfizmu przestrzeni liniowej.
  • Macierz homomorfizmu liniowego.
  • Rząd macierzy.
  • Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego.
  • Wyznacznik macierzy i jego własności.
  • Twierdzenie Cramera.
  • Wektory własne. Wielomian charakterystyczny.
  • Iloczyn skalarny
  • Długość wektora i kąt między wektorami
  • Przestrzeń euklidesowa.
  • Bazy ortogonalne.
  • Kryterium Sylwestera.

Algebra

  • Definicja grupy.
  • Definicja pierścienia.
  • Definicja ciała.
  • Pierścień wielomianów.
  • Ideał pierścienia, a jądro homomorfizmu pierścieni.
  • Różnica pomiędzy pierścieniem a ciałem.
  • Pierwiastek wielomianu.
  • Podgrupa normalna grupy.
  • Indeks podgrupy gupy skończonej. Twierdzenie Lagrande’a.
  • Grupa prosta.
  • Grupa permutacji i jej rząd.
  • Permutacja jako iloczyn transpozycji.
  • Grupa cykliczna.
  • Ideały pierwsze i maksymalne.

Rachunek prawdopodobieństwa

  • Definicja przestrzeni probabilistycznej.
  • Prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa.
  • Dystrybuanta zmiennej losowej. Gęstość zmiennej losowej.
  • Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej.
  • Definicja niezależności zmiennych losowych i jej podstawowe własności.
  • Współczynnik korelacji zmiennych losowych.
  • Nierówność Czebyszewa.
  • Prawa wielkich liczb. 
  • Centralne twierdzenie graniczne.

Statystyka I

  • Miary położenia i miary zmienności.
  • Estymacja punktowa – estymatory zgodne, nieobciążone i efektywne.
  • Przedział ufności dla wartości przeciętnej i wariancji.
  • Testowanie hipotez parametrycznych – test istotności dla wartości średniej i wariancji.
  • Testowanie hipotez nieparametrycznych – testy do weryfikowania  hipotezy, że badana cecha ma określony rozkład.
  • Testowanie niezależności testem chi kwadrat.
  • Współczynnik korelacji liniowej z próbki i proste regresji.

Równania różniczkowe

  • Równanie liniowe pierwszego rzędu.
  • Równanie o zmiennych rozdzielonych.
  • Lemat Gronwalla.
  • Twierdzenie Picarda.
  • Macierz Wrońskiego dla równania liniowego n-tego rzędu. Wzór Liouville’a.
  • Konstrukcja układu fundamentalnego rozwiązań dla równania liniowego n-tego rzędu o stałych współczynnikach.
  • Macierz fundamentalna dla liniowego układu równań. Metoda uzmienniania stałych.