Zagadnienia na egzamin magisterski

19/07/13

Algebra

  • Przestrzeń liniowa, baza i wymiar.
  • Odwzorowania liniowe i ich macierze. Rząd macierzy, wyznacznik, wartości i wektory własne.
  • Grupy i ich homomorfizmy, podgrupy normalne, grupy ilorazowe. Twierdzenie Lagrange’a.
  • Pierścienie i ciała. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne.

Analiza matematyczna II

  • Miara Lebesgue’a w R^n i jej własności.
  • Mierzalność zbioru i funkcji w sensie Lebesgue’ga, przykłady zbiorów miary zero, istnienie zbiorów niemierzalnych.
  • Całka Lebesgue’a i jej związek z całką Riemanna. Funkcje całkowalne.
  • Twierdzenie Fubiniego.

Analiza funkcjonalna

  • Definicja i podstawowe własności przestrzeni Banacha. Przykłady przestrzeni Banacha nieskończonego wymiaru.
  • Operatory ograniczone w przestrzeniach Banacha, norma operatora, przykłady.
  • Definicja i podstawowe własności przestrzeni Hilberta. Przestrzenie L^p(a,b), l^p.
  • Operator sprężony, samosprzężony, unitarny w przestrzeni Hilberta, przykłady.

Funkcje analityczne

  • Pochodna zespolona, różniczkowalność w sensie zespolonym. Funkcje holomorficzne (analityczne). Równania Cauchy-Riemanna.
  • Zespolone szeregi potęgowe, promień i koło zbieżności. Twierdzenie o rozwijaniu funkcji holomorficznej (analitycznej) w szereg potęgowy.
  • Twierdzenie Cauchy’ego, wzór całkowy Cauchy’ego.
  • Punkty osobliwe, szereg Laurenta, residua. Twierdzenie o residuach.

Rachunek prawdopodobieństwa

  • Przestrzeń probabilistyczna, definicja i własności.
  • Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite, wzór Bayesa, niezależność zdarzeń.
  • Zmienne losowe typu dyskretnego i ciągłego. Rozkład zmiennej losowej. Dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja.

Równania różniczkowe

  • Twierdzenie Peano i twierdzenia stosowane w jego dowodzie.
  • Twierdzenie Picarda i twierdzenia stosowane w jego dowodzie.
  • Postać rozwiązań liniowego równania różniczkowego n-tego rzędu o stałych współczynnikach.
  • Macierz fundamentalna dla układu liniowego i jej zastosowania.

Topologia

  • Przestrzenie metryczne i topologiczne. Przestrzenie Hausdorffa. Przykłady niemetryzowalnych przestrzeni topologicznych.
  • Odwzorowania ciągłe w przestrzeniach metrycznych i topologicznych.
  • Homeomorfizmy.
  • Zwarte przestrzenie metryczne i topologiczne. Własności przestrzeni zwartych. Twierdzenie Tichonowa.
  • Przestrzenie metryczne zupełne. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym.
  • Twierdzenie Baire’a.

Pytania z licencjatu:

  • Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych. Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych.
  • Pochodna funkcji i jej związki z pochodnymi cząstkowymi.
  • Warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremów funkcji.
  • Zamiana zmiennych w całkach wielokrotnych i krzywoliniowych.
  • Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu funkcji.
  • Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego.
  • Podobieństwo macierzy kwadratowych. Wartości i wektory macierzy podobnych.
  • Postać Jordana macierzy.

Powyższe zagadnienia nie są pytaniami na egzaminie magisterskim lecz tematami, których znajomość będzie wymagana na egzaminie. Ponadto będą zadawane pytania z pracy magisterskiej i tematyki ściśle z nią związanej.