Wymagania na egzamin licencjacki 2020/2021 dla Matematyki

Zagadnienia na egzamin licencjacki na kierunku Matematyka

Analiza matematyczna

• Granica ciągu liczbowego. Ciągi zbieżne. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.
• Definicja zbieżności szeregu liczbowego. (Suma szeregu, n-ta suma częściowa, n-ta reszta.)
• Kryteria zbieżności szeregów.
• Szeregi potęgowe. Promień zbieżności, przedział zbieżności.
• Definicje Heinego i Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie i ich równoważność (w różnych przypadkach – skończonych i nieskończonych).
• Definicje Heinego i Cauchy’ego ciągłości funkcji w punkcie i ich równoważność.
• Własności funkcji ciągłych określonych na przedziale.
• Zbieżność punktowa a zbieżność jednostajna ciągów funkcyjnych.
• Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych.
• Szeregi funkcyjne. Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego.
• Pochodna funkcji w punkcie. Różniczkowalność a ciągłość.
• Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji różniczkowalnych. Pochodna złożenia, pochodna funkcji odwrotnej.
• Twierdzenia Rolle’a, Lagrange’a i Cauchy’ego.
• Reguła de l’Hospitala.
• Twierdzenie Taylora.
• Szereg Taylora, szereg Maclaurina. Funkcje rozwijalne w szereg potęgowy.
• Konstrukcja całki Riemanna.
• Całkowalność funkcji ciągłych. Twierdzenie Riemanna.
• Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.
• Zwartość. Zbiory zwarte w przestrzeniach euklidesowych.
• Własności funkcji ciągłych określonych na zbiorach zwartych.
• Pochodna funkcji wielu zmiennych w punkcie. Pochodna a ciągłość funkcji.
• Pochodne cząstkowe. Związek między pochodną a pochodnymi cząstkowymi.
• Odwzorowania klasy C^1. Dyfeomorfizmy.
• Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań.
• Twierdzenie o funkcji uwikłanej.
• Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Twierdzenie Schwarza o symetrii różniczki drugiego rzędu.
• Warunki konieczne i dostateczne na istnienie ekstremum lokalnego w punkcie.
• Twierdzenie Fubiniego.
• Twierdzenie o zamianie zmiennych dla funkcji wielu zmiennych.

Wstęp do matematyki

• Prawa de Morgana dla rachunku zdań i kwantyfikatorów.
• Relacje, dziedzina, przeciwdziedzina, funkcja jako relacja, funkcja odwrotna.
• Funkcja z X do Y, injekcje, surjekcje, bijekcje, funkcja odwrotna, składanie funkcji.
• Obrazy i przeciwobrazy zbioru przez funkcje. Własności.
• Relacja równoważności. Zasada abstrakcji.
• Zbiory częściowo, liniowo i dobrze uporządkowane. Elementy wyróżnione.
• Twierdzenie Cantora-Bernsteina i jego zastosowania.
• Twierdzenie Cantora o mocy rodziny wszystkich podzbiorów danego zbioru.
• Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne. Dowód nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych.

Algebra liniowa z geometrią

• Ciało liczb zespolonych.
• Baza przestrzeni liniowej.
• Wymiar przestrzeni liniowej.
• Związek między wymiarami jądra i obrazu homomorfizmu przestrzeni liniowej.
• Macierz homomorfizmu liniowego.
• Rząd macierzy.
• Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego.
• Wyznacznik macierzy i jego własności.
• Twierdzenie Cramera.
• Wektory własne. Wielomian charakterystyczny.
• Iloczyn skalarny
• Długość wektora i kąt między wektorami
• Przestrzeń euklidesowa.
• Bazy ortogonalne.
• Kryterium Sylwestera.

Algebra

• Definicja grupy.
• Definicja pierścienia.
• Definicja ciała.
• Pierścień wielomianów.
• Ideał pierścienia, a jądro homomorfizmu pierścieni.
• Różnica pomiędzy pierścieniem a ciałem.
• Pierwiastek wielomianu.
• Podgrupa normalna grupy.
• Indeks podgrupy grupy skończonej. Twierdzenie Lagrange’a.
• Grupa prosta.
• Grupa permutacji i jej rząd.
• Permutacja jako iloczyn transpozycji.
• Grupa cykliczna.
• Ideały pierwsze i maksymalne.

Rachunek prawdopodobieństwa

• Przestrzeń probabilistyczna.
• Prawdopodobieństwo warunkowe, wzór Bayesa i wzór na prawdopodobieństwo całkowite.
• Schemat Bernoulliego i rozkład dwumianowy.
• Rozkład normalny i reguła 3 sigm.
• Zmienna losowa, dystrybuanta i rodzaje rozkładów prawdopodobieństwa.
• Wartość oczekiwana, wariancja i nierówność Czebyszewa.
• Niezależność zdarzeń i zmiennych losowych.
• Prawo wielkich liczb. 
• Centralne twierdzenie graniczne.

Statystyka I

• Przestrzeń statystyczna.
• Rozkład i dystrybuanta empiryczna próby losowej.
• Zasadnicze twierdzenie statystyki.
• Średnia i wariancja empiryczna próby losowej.
• Mediana i kwartyle próby losowej.
• Rozkład chi-kwadrat i t-Studenta.
• Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w rozkładzie normalnym.
• Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wariancji w rozkładzie normalnym.

Równania różniczkowe

• Równanie liniowe pierwszego rzędu.
• Równanie o zmiennych rozdzielonych.
• Lemat Gronwalla.
• Twierdzenie Picarda.
• Macierz Wrońskiego dla równania liniowego n-tego rzędu. Wzór Liouville’a.
• Konstrukcja układu fundamentalnego rozwiązań dla równania liniowego n-tego rzędu o stałych współczynnikach.
• Macierz fundamentalna dla liniowego układu równań. Metoda uzmienniania stałych.