Wymagania na egzamin licencjacki 2020/2021 dla Matematyki
Zagadnienia na egzamin licencjacki na kierunku Matematyka
Analiza matematyczna
- Granica ciągu liczbowego. Ciągi zbieżne. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.
- Definicja zbieżności szeregu liczbowego. (Suma szeregu, n-ta suma częściowa, n-ta reszta.)
- Kryteria zbieżności szeregów.
- Szeregi potęgowe. Promień zbieżności, przedział zbieżności.
- Definicje Heinego i Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie i ich równoważność (w różnych przypadkach – skończonych i nieskończonych).
- Definicje Heinego i Cauchy’ego ciągłości funkcji w punkcie i ich równoważność.
- Własności funkcji ciągłych określonych na przedziale.
- Zbieżność punktowa a zbieżność jednostajna ciągów funkcyjnych.
- Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych.
- Szeregi funkcyjne. Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego.
- Pochodna funkcji w punkcie. Różniczkowalność a ciągłość.
- Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji różniczkowalnych. Pochodna złożenia, pochodna funkcji odwrotnej.
- Twierdzenia Rolle’a, Lagrange’a i Cauchy’ego.
- Reguła de l’Hospitala.
- Twierdzenie Taylora.
- Szereg Taylora, szereg Maclaurina. Funkcje rozwijalne w szereg potęgowy.
- Konstrukcja całki Riemanna.
- Całkowalność funkcji ciągłych. Twierdzenie Riemanna.
- Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.
- Zwartość. Zbiory zwarte w przestrzeniach euklidesowych.
- Własności funkcji ciągłych określonych na zbiorach zwartych.
- Pochodna funkcji wielu zmiennych w punkcie. Pochodna a ciągłość funkcji.
- Pochodne cząstkowe. Związek między pochodną a pochodnymi cząstkowymi.
- Odwzorowania klasy C^1. Dyfeomorfizmy.
- Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań.
- Twierdzenie o funkcji uwikłanej.
- Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Twierdzenie Schwarza o symetrii różniczki drugiego rzędu.
- Warunki konieczne i dostateczne na istnienie ekstremum lokalnego w punkcie.
- Twierdzenie Fubiniego.
- Twierdzenie o zamianie zmiennych dla funkcji wielu zmiennych.
Wstęp do matematyki
- Prawa de Morgana dla rachunku zdań i kwantyfikatorów.
- Relacje, dziedzina, przeciwdziedzina, funkcja jako relacja, funkcja odwrotna.
- Funkcja z X do Y, injekcje, surjekcje, bijekcje, funkcja odwrotna, składanie funkcji.
- Obrazy i przeciwobrazy zbioru przez funkcje. Własności.
- Relacja równoważności. Zasada abstrakcji.
- Zbiory częściowo, liniowo i dobrze uporządkowane. Elementy wyróżnione.
- Twierdzenie Cantora-Bernsteina i jego zastosowania.
- Twierdzenie Cantora o mocy rodziny wszystkich podzbiorów danego zbioru.
- Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne. Dowód nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych.
Algebra liniowa z geometrią
- Ciało liczb zespolonych.
- Baza przestrzeni liniowej.
- Wymiar przestrzeni liniowej.
- Związek między wymiarami jądra i obrazu homomorfizmu przestrzeni liniowej.
- Macierz homomorfizmu liniowego.
- Rząd macierzy.
- Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego.
- Wyznacznik macierzy i jego własności.
- Twierdzenie Cramera.
- Wektory własne. Wielomian charakterystyczny.
- Iloczyn skalarny
- Długość wektora i kąt między wektorami
- Przestrzeń euklidesowa.
- Bazy ortogonalne.
- Kryterium Sylwestera.
Algebra
- Definicja grupy.
- Definicja pierścienia.
- Definicja ciała.
- Pierścień wielomianów.
- Ideał pierścienia, a jądro homomorfizmu pierścieni.
- Różnica pomiędzy pierścieniem a ciałem.
- Pierwiastek wielomianu.
- Podgrupa normalna grupy.
- Indeks podgrupy grupy skończonej. Twierdzenie Lagrange’a.
- Grupa prosta.
- Grupa permutacji i jej rząd.
- Permutacja jako iloczyn transpozycji.
- Grupa cykliczna.
- Ideały pierwsze i maksymalne.
Rachunek prawdopodobieństwa
- Przestrzeń probabilistyczna.
- Prawdopodobieństwo warunkowe, wzór Bayesa i wzór na prawdopodobieństwo całkowite.
- Schemat Bernoulliego i rozkład dwumianowy.
- Rozkład normalny i reguła 3 sigm.
- Zmienna losowa, dystrybuanta i rodzaje rozkładów prawdopodobieństwa.
- Wartość oczekiwana, wariancja i nierówność Czebyszewa.
- Niezależność zdarzeń i zmiennych losowych.
- Prawo wielkich liczb.
- Centralne twierdzenie graniczne.
Statystyka I
- Przestrzeń statystyczna.
- Rozkład i dystrybuanta empiryczna próby losowej.
- Zasadnicze twierdzenie statystyki.
- Średnia i wariancja empiryczna próby losowej.
- Mediana i kwartyle próby losowej.
- Rozkład chi-kwadrat i t-Studenta.
- Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w rozkładzie normalnym.
- Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wariancji w rozkładzie normalnym.
Równania różniczkowe
- Równanie liniowe pierwszego rzędu.
- Równanie o zmiennych rozdzielonych.
- Lemat Gronwalla.
- Twierdzenie Picarda.
- Macierz Wrońskiego dla równania liniowego n-tego rzędu. Wzór Liouville’a.
- Konstrukcja układu fundamentalnego rozwiązań dla równania liniowego n-tego rzędu o stałych współczynnikach.
- Macierz fundamentalna dla liniowego układu równań. Metoda uzmienniania stałych.