Algebra

• Przestrzeń liniowa, baza i wymiar.
• Odwzorowania liniowe i ich macierze. Rząd macierzy, wyznacznik, wartości i wektory własne.
• Grupy i ich homomorfizmy, podgrupy normalne, grupy ilorazowe. Twierdzenie Lagrange’a.
• Pierścienie i ciała. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne.

Algebra

• Przestrzeń liniowa, baza i wymiar.
• Odwzorowania liniowe i ich macierze. Rząd macierzy, wyznacznik, wartości i wektory własne.
• Grupy i ich homomorfizmy, podgrupy normalne, grupy ilorazowe. Twierdzenie Lagrange’a.
• Pierścienie i ciała. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne.

Analiza matematyczna II

• Miara Lebesgue’a w R^n i jej własności.
• Mierzalność zbioru i funkcji w sensie Lebesgue’ga, przykłady zbiorów miary zero, istnienie zbiorów niemierzalnych.
• Całka Lebesgue’a i jej związek z całką Riemanna. Funkcje całkowalne.
• Twierdzenie Fubiniego.

Analiza funkcjonalna

• Definicja i podstawowe własności przestrzeni Banacha. Przykłady przestrzeni Banacha nieskończonego wymiaru.
• Operatory ograniczone w przestrzeniach Banacha, norma operatora, przykłady.
• Definicja i podstawowe własności przestrzeni Hilberta. Przestrzenie L^p(a,b), l^p.
• Operator sprężony, samosprzężony, unitarny w przestrzeni Hilberta, przykłady.

Funkcje analityczne

• Pochodna zespolona, różniczkowalność w sensie zespolonym. Funkcje holomorficzne (analityczne). Równania Cauchy-Riemanna.
• Zespolone szeregi potęgowe, promień i koło zbieżności. Twierdzenie o rozwijaniu funkcji holomorficznej (analitycznej) w szereg potęgowy.
• Twierdzenie Cauchy’ego, wzór całkowy Cauchy’ego.
• Punkty osobliwe, szereg Laurenta, residua. Twierdzenie o residuach.

Rachunek prawdopodobieństwa

• Przestrzeń probabilistyczna, definicja i własności.
• Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite, wzór Bayesa, niezależność zdarzeń.
• Zmienne losowe typu dyskretnego i ciągłego. Rozkład zmiennej losowej. Dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja.

Równania różniczkowe

• Twierdzenie Peano i twierdzenia stosowane w jego dowodzie.
• Twierdzenie Picarda i twierdzenia stosowane w jego dowodzie.
• Postać rozwiązań liniowego równania różniczkowego n-tego rzędu o stałych współczynnikach.
• Macierz fundamentalna dla układu liniowego i jej zastosowania.

Topologia

• Przestrzenie metryczne i topologiczne. Przestrzenie Hausdorffa. Przykłady niemetryzowalnych przestrzeni topologicznych.
• Odwzorowania ciągłe w przestrzeniach metrycznych i topologicznych.
• Homeomorfizmy.
• Zwarte przestrzenie metryczne i topologiczne. Własności przestrzeni zwartych. Twierdzenie Tichonowa.
• Przestrzenie metryczne zupełne. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym.
• Twierdzenie Baire’a.

Pytania z licencjatu:

• Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych. Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych.
• Pochodna funkcji i jej związki z pochodnymi cząstkowymi.
• Warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremów funkcji.
• Zamiana zmiennych w całkach wielokrotnych i krzywoliniowych.
• Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu funkcji.
• Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego.
• Podobieństwo macierzy kwadratowych. Wartości i wektory macierzy podobnych.
• Postać Jordana macierzy.

Powyższe zagadnienia nie są pytaniami na egzaminie magisterskim lecz tematami, których znajomość będzie wymagana na egzaminie. Ponadto będą zadawane pytania z pracy magisterskiej i tematyki ściśle z nią związanej.

Analiza matematyczna II

• Miara Lebesgue’a w R^n i jej własności.
• Mierzalność zbioru i funkcji w sensie Lebesgue’ga, przykłady zbiorów miary zero, istnienie zbiorów niemierzalnych.
• Całka Lebesgue’a i jej związek z całką Riemanna. Funkcje całkowalne.
• Twierdzenie Fubiniego.

Analiza funkcjonalna

• Definicja i podstawowe własności przestrzeni Banacha. Przykłady przestrzeni Banacha nieskończonego wymiaru.
• Operatory ograniczone w przestrzeniach Banacha, norma operatora, przykłady.
• Definicja i podstawowe własności przestrzeni Hilberta. Przestrzenie L^p(a,b), l^p.
• Operator sprężony, samosprzężony, unitarny w przestrzeni Hilberta, przykłady.

Funkcje analityczne

• Pochodna zespolona, różniczkowalność w sensie zespolonym. Funkcje holomorficzne (analityczne). Równania Cauchy-Riemanna.
• Zespolone szeregi potęgowe, promień i koło zbieżności. Twierdzenie o rozwijaniu funkcji holomorficznej (analitycznej) w szereg potęgowy.
• Twierdzenie Cauchy’ego, wzór całkowy Cauchy’ego.
• Punkty osobliwe, szereg Laurenta, residua. Twierdzenie o residuach.

Rachunek prawdopodobieństwa

• Przestrzeń probabilistyczna, definicja i własności.
• Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite, wzór Bayesa, niezależność zdarzeń.
• Zmienne losowe typu dyskretnego i ciągłego. Rozkład zmiennej losowej. Dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja.

Równania różniczkowe

• Twierdzenie Peano i twierdzenia stosowane w jego dowodzie.
• Twierdzenie Picarda i twierdzenia stosowane w jego dowodzie.
• Postać rozwiązań liniowego równania różniczkowego n-tego rzędu o stałych współczynnikach.
• Macierz fundamentalna dla układu liniowego i jej zastosowania.

Topologia

• Przestrzenie metryczne i topologiczne. Przestrzenie Hausdorffa. Przykłady niemetryzowalnych przestrzeni topologicznych.
• Odwzorowania ciągłe w przestrzeniach metrycznych i topologicznych.
• Homeomorfizmy.
• Zwarte przestrzenie metryczne i topologiczne. Własności przestrzeni zwartych. Twierdzenie Tichonowa.
• Przestrzenie metryczne zupełne. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym.
• Twierdzenie Baire’a.

Pytania z licencjatu:

• Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych. Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych.
• Pochodna funkcji i jej związki z pochodnymi cząstkowymi.
• Warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremów funkcji.
• Zamiana zmiennych w całkach wielokrotnych i krzywoliniowych.
• Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu funkcji.
• Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego.
• Podobieństwo macierzy kwadratowych. Wartości i wektory macierzy podobnych.
• Postać Jordana macierzy.

Powyższe zagadnienia nie są pytaniami na egzaminie magisterskim lecz tematami, których znajomość będzie wymagana na egzaminie. Ponadto będą zadawane pytania z pracy magisterskiej i tematyki ściśle z nią związanej.