Na stronie tej będą sukcesywnie umieszczane ciekawe zadania, problemy
matematyczne na różnym poziomie. Wspólną ich cechą jest możliwość eksperymentowania - badania wielu
przypadków szczególnych. Faza eksperymentu jest ważna, nawet w tak "teoretycznej" nauce, jak matematyka.
Zaplanowanie matematycznego eksperymentu może być ciekawym zadaniem.
Zadanie nr 1
Czy każdy trójkąt rozwartokątny można podzielić na trójkąty ostrokątne?
Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Rozważamy wszystkie takie trójkąty równoboczne XYZ, że punkty
A, B, C są odpowiednio punktami wewnętrznymi odcinków YZ, ZX, XY. Udowodnij, że
środki ciężkości wszystkich rozważanych trójkątów leżą na jednym okręgu.
LV Olimpiada Matematyczna, 2003 rok, zadanie nr 4 z zawodów stopnia pierwszego
Koza jest uwiązana na brzegu pastwiska w kształcie koła o promieniu r. Jaką długość powinien
mieć sznurek kozy, aby wyjadła trawę z połowy powierzchni pastwiska?
To zadanie to klasyka. Można je rozwiązać analitycznie (należy ułożyć odpowiednie równanie)
lub eksperymentalnie, na przykład za pomocą programu CABRI II. koza.htm
Zadanie nr 4
Comte de Buffon, francuski uczony, autor Histoire naturelle wydanej w 1777 roku.
W suplemencie do tego dzieła Buffon postawił zadanie:
Płaszczyzna pokryta jest prostymi równoleglymi, dwie sąsiednie proste są w odległości d.
Rzucamy na płaszczyznę igłę o długości l (l<=d). Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie
którąś z prostych?
Popatrzmy na symulację tego doświadczenia. Wykonano 50 rzutów, obliczona częstość wyniosła 0.66.
Buffon wykazał, że szukane prawdopodobieństwo wynosi 2l/(pi*d). Dla d = 1 i l = 1 otrzymujemy wartość 2/pi.
Podobno, w 1901 roku Włoch Lazzerini rzucił 3408 igieł, otrzymując wartość pi z dokładnością do 6 miejsc
po przecinku. Niektórzy podejrzewają Włocha o oszustwo. Rzeczywiście, rzucanie takiej ilości igieł może
wydać się nieco karkołomnym przedsięwzięciem. Kiedyś próbowałem wykonać podobne doświadczenie, wykupiłem wszystkie
igły w okolicznych pasmanteriach, ale nawet nie zbliżyłem sie do liczby igieł w próbie Lazzeriniego.
Zadanie nr 5
W "Ziarenkach matematycznych" (wybór Dawida Caina, Wydawnictwo NOWIK) znajduje się piękne zadanie.
Pewna żaba postanowiła przeskoczyć z jednego brzegu rzeki na drugi brzeg. W pierwszym skoku
żaba przebyła połowę odległości do drugiego brzegu. Po wykonaniu pierwszego skoku żaba zdecydowała się na powrót, ponownie
przebywając połowę drogi do brzegu, z którego wyruszyła. Po każdym skoku żaba zmieniała swoją decyzję, skacząc raz w stronę jednego lub dugiego
brzegu, i pokonujac za każdym razem połowę odległości do brzegu, z którego skakała. Gdzie zakończy się podróż żaby?
Zakładamy, że żaba wykona nieskończenie wiele skoków.
Popatrzmy na animację tego zadania. Animację tę dedykuję Dawidowi. Ta dedykacja nabrała teraz innego znaczenia - we wrzeniu 2019 roku Dawid Cain zmarł. O tym bardzo
smutnym fakcie dowiedziałem się niedawno. Wielki żal, Dawid miał taką piękną matematyczną duszę!
Świetne zadanie do matematycznych eksploracji. Warto zastanowić się także nad problemami:
1. Gdzie zakończy sie "podróż" żaby, jeśli ułamek 1/2 zamienimy na jakiś inny?
2. Czy można tak zaplanować skoki żaby, aby wylądowała w dowolnym ustalonym punkcie odcinka?
Zakładamy, że żaba wykona nieskończenie wiele skoków.
3. Gdzie zakończy się "podróż" żaby, jeśli przed każdym skokiem (począwszy od drugiego) losowo będzie wybierała
brzeg, w kierunku którego wykona kolejny skok?
Zadanie nr 6
W czasie zajęć z teorii liczb (wykład fakultatywny, IM UG, semestr letni 2004/2005) pojawił się ładny
problem:
Niech c(n) oznacza liczbę istotnie różnych prostopadłościanów, które można ułożyć z
n jednakowych sześcianów. Znaleźć wzór jawny do obliczania wartości c(n).
Popatrzmy na przypadek n=8; w tym przypadku c(8)=3.
Piękny wzór, oparty na rozkładzie liczby n na czynniki pierwsze, znalazł student matematyki, Pan
Paweł Barbarski.
Do eksperymentów z tym zadaniem warto wykorzystać program napisany w języku C++; program oblicza
wartości funkcji c(n) oraz wypisuje wszystkie możliwe istotnie różne przedstawienia liczby n w postaci iloczynu
trzech liczb naturalnych. Działa dość szybko dla n<=5000. abc.exe
Zadanie nr 7
W czasie konferencji EUROLOGO 2005 (Warszawa, sierpień 2005) Pan Andrzej Walat zaprezentował piękny probabilistyczny problem:
Żółw wędruje po szkielecie sześcianu. W każdym wierzchołku sześcianu z jednakowym
prawdopodobieństwem wybiera kierunek marszu. Jaka jest średnia liczba krawędzi, które przejdzie żółw w n próbach,
jeśli jego zadaniem jest przejście z wierzchołka czerwonego do wierzchołka niebieskiego?
Popatrzmy na symulację tego doświadczenia napisaną w programie LOGOMOCJA.
Dane są dwa stosy kamieni, w jednym znajduje się m kamieni, w drugim n kamieni. Dwaj gracze (rozpoczynający A
i grający jako drugi B) na zmianę wykonują ruchy, przy czym ruch polega na tym, że można wziąć z jednego z dwóch
stosów liczbę kamieni, która jest dzielnikiem liczby kamieni w tym stosie. Wygrywa ten gracz, który zabierze ostatni
(ostatnie) kamień. Zakładając, że obaj gracze grają poprawnie, kto powinien wygrać?
W dołączonym pliku znajduje się rozwiązanie.
Jak wygląda teoria tej gry dla trzech, czterech, ... stosów?
Popatrzmy na jej zmodyfikowaną wersję z czterema słupkami.
Jaka jest minimalna liczba ruchów
potrzebnych do przełożenia wieży (zgodnie z zasadami) z lewego słupka na prawy w tym przypadku?
Niech h(n,k) oznacza minimalną liczbę ruchów
dla wieży z n krążkami oraz k słupkami. Znaleźć wzór jawny dla h(n,k).
Zadanie nr 11
Chcemy umieścić 100 małych kół o promieniu 1 w dużym kole tak, aby dowolne dwa małe koła
miały co najwyżej jeden punkt wspólny. Jaki najmniejszy promień może mieć duże koło?
Można pokazać, że promień dużego koła musi mieć co najmniej 9,61 jednostek długości.
Ciekawe, czy ktoś uzyska wynik poniżej 10 jednostek długości dla promienia dużego koła.
Zadanie nr 12
W wielu programach komputerowych można mierzyć rozwartość kąta, ale na ogół miara zawiera się w przedziale <0,180>. Tę niedogodność można tak poprawić, aby mierzyć także kąty wklęsłe. Jak to zrobić w programie CABRI?
Zadanie nr 13
Ile nieprzystających osiowosymetrycznych łamanych można zbudować z n
jednakowych patyczków? Sąsiednie boki łamanej powinny być do siebie prostopadłe. Spójrzmy na rozwiązanie dla n = 5
(dla ułatwienia środkowy patyczek został oznaczony czerwonym kolorem).
Dla osób, które zechcą poeksperymentować, plik interaktywny. lamane.HTM
Zadanie nr 14
W 1918 roku George Pólya opublikował artykuł Zahlentheoretisches und
wahrscheinlichkeits-theoretisches uber die sichtweite im walde [Arch. Math. und Phys., 27, Series 2 (1918) 135-142],
w którym rozważał następujący problem (w literaturze anglojęzycznej nosi on nazwę Orchard Visibility Problem):
Sad ma kształt koła promieniu s (liczba całkowita dodatnia) i środku w początku układu współrzędnych.
W każdym punkcie kratowym tego sadu posadzono drzewo; zakładamy, że każde drzewo ma pień, którego przekrój jest
kołem o promieniu r. Jakie jest najmniejsze r, dla którego każdy promień wychodzący z punktu (0,0)
napotyka na swej drodze jakieś drzewo? Innymi słowy sad
z punktu (0,0) nie ma prześwitów.
Artykuł na ten temat ukaże się w sierpniowym numerze "Delty". Warto zaplanować eksperymenty (np. w GeoGebrze) związane z
tym zadaniem.
